llego tarde también pero para comprobar la batería una buena forma es con un polímetro (los hay por poco dinero y es algo muy utill, mejor que andar cortocircuitando cables como dicen por ahi
) se lo metes a los bornes y si esta bien cargada y en buen estado tiene que estar por encima de 12.5 V pero no solo te puedes fiar de eso, ya que puede tener tensión pero le puede fallar el amperaje, la chicha vamos, hay que comprobar que al tirar de la puesta se mantengan los voltios, es normal que en ese momento caiga uno o dos voltios a causa del consumo del motor, de no ser asi, el motor no esta consumiendo nada con lo cual o no funciona o no le llega tensión. En ese caso nos iríamos con el polímetro al rele para comprobar la entrada y la salida del mismo y que llegan Vs a los bornes del motor de arrqanque.
Si por el contrario cae mucho el voltaje posiblemente no llegue a mover mas que el rele como es tu caso. Las baterías en ese estado ya tienden a descargarse solas en pocos dias.
También decir que el frio les sienta muy muy mal y por allí creo que vais sobraos de eso